EigenValores y EigenVectores

Bueno Lectores en esta ocasion vamos a aplicar un tema interesante en el Algebra Lineal.

Que es Eigenvalores y EigenVectores

Se presenta como una aplicacion de la solucion de sistemas de ecuaciones lineales con n icognitas expresadas como AX = λX donde λ es un escalar. Pueden tomar otras formas como λX - AX = 0 o (λI - A)X = 0. Si λI-A es invertible, entonces, para X no hay sino solucion trivial, pero si det(λI - A) =0 (Ecuacion Caracteristica), entonces, a los valores de λ se los llama eigenvalores de A y a las soluciones para X, eigenvectores de A. 

Ejemplo : Hallar los eigenvalores y los eigenvectores para A si el sistema es:

X1 + 3X2 = λX1

4X1 + 2X2 = λX2

Planteamos la Solucion

 Solucion

1. Con la ecuacion caracteristica, se hallan los eigenvalores:

 

Es decir, (λ+2)(λ-5) = 0  Entonces
λ = -2

λ = 5

Los eigenvectores se obtienen cuando en (λI - A)X = 0 se soluciona para X teniendo en cuenta que (λI - A) es no invertible y por tanto tendra soluciones no triviales.

Asi que obtenemos los siguiente:

Si λ = -2 Tendriamos la siguiente Solucion,

Entonces tenemos lo siguiente:

-3X1 - 3X2 = 0

-4X1 - 4X2 = 0

Entonces analizando podemos observar que las dos ecuaciones son equivalentes el sistema tiene infinitas soluciones de la forma ( -t , t) con t ∈ R y de la misma forma, si λ = 5 entonces las soluciones serian los pares (3t/4 , t ) con t ∈ R que son los eigenvectores.

Nota : La explicacion mas a fondo la realizaremos en Video.