La cicloide
El matemático y físico del siglo XVII, Christiaan Huygens, fue el primer constructor serio de relojes de péndulo. Construyó uno que tenía una propiedad muy especial: aunque la amplitud del movimiento del péndulo variase , seguía marcando el tiempo igual de bien.
¡Tenía el mismo periódo para cualquier amplitud!
Construyó un péndulo que describiera una cicloide invertida: el péndulo tiene como topes dos arcos de cicloide.
La curva que describía el péndulo era tautócrona: Si dejas caer dos canicas desde dos puntos difrentes de una cicloide invertida, ambas llegan al mismo tiempo al punto más bajo.
Las ecuaciones de la cicloide son: x=rα−rsenα∧y=rcosα−r
Si la partícula parte de A en reposo, la velocidad que alcanza en B depende de la diferencia de altura h entre los puntos y no de la trayectoria descrita, según la fórmula:v=2g(hB−hA)−−−−−−−−−−√=2gR(cosβ−cosα)−−−−−−−−−−−−−−√
Por trigonometría se obtiene:v=2Rg−−−√cos2(β2)−cos2(α2)−−−−−−−−−−−−−−−√
Derivando las ecuaciones de la cicloide:
dxdα=r−rcosα∧dydα=−rsenα
el elemento de longitud es:
çSi la partícula parte de A en reposo, la velocidad que alcanza en B depende de la diferencia de altura h entre los puntos y no de la trayectoria descrita, según la fórmula:
Por trigonometría se obtiene:
Derivando las ecuaciones de la cicloide:
el elemento de longitud es:
El elemento de tiempo:
E integrando:
Haciendo los cambios:
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