El estudio de la línea recta

Continuemos con nuestro aprendizaje sobre la línea recta.

 Observa la siguiente imagen

De izquierda a derecha la funciones que modelan a las rectas son y=x; y=x/2; y=x/7; y=x/15; y=x/50

¿Qué puedes decir sobre ellas?

¿Qué les va pasando?

¿Dónde se observa ese cambio en la ecuación?

Anota aquí tus observaciones.

Cuando le recta es de la forma y=x/m. Mientras m sea un número positivo muy grande, la gráfica de la recta se va _______________________________

Con tu observación. Coloca las ecuaciones que modelan a las siguientes gráficas.

 Ahora has aprendido a relacionar la ecuación de la recta de la forma y=x/m con m un número positivo con su gráfica.

Es importante tener presente los conocimientos que vamos adquiriendo para que tengamos una idea sobre las gráficas de la línea recta y no se nos olvide. Poco a poco vamos descubriendo patrones que podemos utilizar al bosquejar una representación gráfica, en este caso de la línea recta.

Nota. Esta entrada está basada en el ebook. Gráfica de funciones: la línea recta que puedes adquirir aquí.


Nos vemos en la siguiente entrada y no se te olvide comentar.

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Xaab Nop Vargas Vásquez  es experto en la perspectiva teórica – metodológica Wejën Kajën para la didáctica de la Matemática. Su pasión por investigar le ha llevado a participar en congresos como ponente y conferencista en eventos nacionales e internacionales. Actualmente es profesor - investigador del Centro Especializado en Atención al Rendimiento Escolar en Matemáticas

Xaab Nop Vargas Vásquez  es experto en la perspectiva teórica – metodológica Wejën Kajën para la didáctica de la Matemática. Su pasión por investigar le ha llevado a participar en congresos como ponente y conferencista en eventos nacionales e internacionales. Actualmente es profesor - investigador del Centro Especializado en Atención al Rendimiento Escolar en Matemáticas - See more at: http://www.resolviendo.co/2013/02/graficar-la-linea-recta.html#sthash.FLWPdwhx.dpuf

Xaab Nop Vargas Vásquez  es experto en la perspectiva teórica – metodológica Wejën Kajën para la didáctica de la Matemática. Su pasión por investigar le ha llevado a participar en congresos como ponente y conferencista en eventos nacionales e internacionales. Actualmente es profesor - investigador del Centro Especializado en Atención al Rendimiento Escolar en Matemáticas - See more at: http://www.resolviendo.co/2013/02/graficar-la-linea-recta.html#sthash.FLWPd

Ecuacion de la Recta

Ecuacion de la Recta: La idea de linea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometria. Se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una unica direccion.

         De acuerdo a uno de los postulados de la Geometria Euclidiana, para determinar una linea recta es necesario dos puntos de un plano.


    La idea de esto es poder encontrar una expresiin algebraica (una funcion) que determine a una recta dada. Dicha expresion algebraica recibe el nombre de ECUACION DE LA RECTA.


Ecuacion Principal de una Recta: Se llama ECUACION PRINCIPAL DE UNA RECTA a una expresion de la forma:

    En que m representa a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posicion, y es el numero en que la recta corta al eje de la ordenadas.


Ejemplos:

1.
usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P₁ (-1, -4) y P₂ (5, 1)

Solucion:

Suponga que la recta pedida tiene por ecuación: Ax + By + C = 0 (1).
Como P₁ y P₂pertenecen a la recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (1). Esto es:
 
A(-1) + B(-4) + C = 0 ó -A – 4B + C = 0 (2)
A(5) + B(1) + C = 0 ó 5A + B + C = 0 (3)
 
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (2) y (3) para A y B en términos de C obtenemos: y 
 
Reemplazando los valores de A y B en (1) se obtiene:
ó 

Dividiendo ésta última igualdad por –C, obtenemos finalmente, 5x – 6y – 19 = 0 como la ecuación de la recta pedida.

 2.

Dada la recta l cuya ecuación en su forma general viene dada por: 3x + 4y – 5 = 0. Determinar:
a)    La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a l.
b)    La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a l.

Sean l₁ yl₂ las rectas paralela y perpendicular a l respectivamente y que pasan por el punto P(1, 2).
Sean m₁, m y m₂las pendientes de l_1, l y l₂ respectivamente.
 

Como l₁ t l₂ entonces m₁ = m y puesto que m = -3/4 se sigue que m₁ = -3/4. 
se tiene paral_1:
 
y simplificándola se puede escribir en la forma general:
3x + 4y – 11 = 0
 
b) Como l₂ u l₁, entonces m₂ = -1/m y como m = -3/4, se sigue que m₂= 4/3.
Usando nuevamente la forma punto – pendiente se tiene para l₂:
y simplificando se puede escribir en la forma general: 4x – 3y + 2 = 0
3x + 4y – 11 = 0
 

Gráfica de funciones: la línea recta

Espero que estés bien. Y que este sábado sea perfecto para aprender. Hoy iniciaremos nuestras entradas sobre aprender a graficar la línea recta de una manera intuitiva.

Basándonos en la imagen que te muestro. 

Desplazamiento de la línea recta

La recta que está en la diagonal es la recta y = x, sí, la que pasa justo en el origen. ¿Qué puedes decir sobre las demás rectas con respecto a la recta y=x? ¿En qué se parecen? ¿En qué son diferentes? ¿Cuántas unidades han avanzado? ¿Hacia dónde han avanzado?

Las siguientes expresiones son las ecuaciones (funciones) que modelan a las rectas de la imagen anterior:

y=x (primera recta de abajo hacia arriba)

y=x+1 (segunda recta de abajo hacia arriba)

y=x+5(tercera recta de abajo hacia arriba)

y=x+10

Las unidades que va avanzando la recta. ¿Dónde se refleja en su ecuación?

Si queremos que una recta se desplace 100 unidades ¿Cómo sería su ecuación? Si queremos que se desplace “b” unidades? ¿Cómo sería su ecuación?

La siguiente imagen presenta un conjunto de gráficas. Con lo que has reflexionado coloca las ecuaciones que las modelan. 

Línea recta

 

Ahora has aprendido a graficar una ecuación de la forma y = x + b donde b es un número natural. Bien. Ahora te toca comentar en esta entrada y nos vemos en posteriores entradas.

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Nota: Esta serie de entradas estan basadas en el ebook “Gráfica de funciones: la línea recta”.

Xaab Nop Vargas Vásquez es experto en la perspectiva teórica – metodológica Wejën Kajën para la didáctica de la Matemática. Su vida la dedica al desarrollo de la ciencia en el área de la Matemática Educativa. Su pasión por investigar le ha llevado a participar en congresos como ponente y conferencista en eventos nacionales e internacionales. Actualmente es profesor - investigador del Centro Especializado en Atención al Rendimiento Escolar en Matemáticas

 

Ejemplos de Probabilidad II

1. En una bolsa tenemos 5 bolas numeradas del 1 al 5, si sacamos 2 bolas de la bolsa, cual es la probabilidad de tener un 2 y un 3 si no devolvemos las bolas sacadas?  y cual si las devolvemos?

  sin devolución la probabilidad seria 1/5 que es la cantidad de bolas entre el valor que saca por el 1/4 que es el que ya se saco   
                                          1/5 * 1/4 = 1/20  y 1/20 es igual a 0.05

 Con devolución seria 1/5 por 1/5 
                                                            1/5 * 1/5 = 7/25 y 1/25 es igual a 0.04


2. En una bolsa tenemos 7 bolas rojas, 9 bolas azules y 4 verdes, extraemos 1 bola calcula la probabilidad de que no sea roja
            
    Solución          

Explicacion: tenemos 7 bolas rojas y 9 bolas azules y 4 bolas verdes para un total de 20 bolas, entonces retiramos las 7 bolas rojas y nos quedan 13 bolas entre 9 azules y 4 verdes entonces la probabilidad seria de 13 bolas de cualquier color sobre la cantidad de bolas que en este caso serian 20

13/20 es igual a 0.65

3. Si lanzamos un dado mil veces, cuantas veces tenemos la probabilidad de que salga el resultado aproximada mente

Nos dan las siguientes probabilidades

  Probabilidad que saliera 1 = 0.05
  Probabilidad que saliera 2 = 0.2
  Probabilidad que saliera 3 = 0.4
  Probabilidad que saliera 4 = 0.15
  Probabilidad que saliera 5 = 0. 15
  Probabilidad que saliera 6 = 0.05


Solución

Aquí multiplicaremos la probabilidad que nos dieron de cada uno de los dados por la cantidad de lanzamientos entonces

  Probabilidad que saliera 1 = 0.05 * 1000 = 50
  Probabilidad que saliera 2 = 0.2 * 1000 = 200
  Probabilidad que saliera 3 = 0.4 * 1000 = 400
  Probabilidad que saliera 4 = 0.15 * 1000 = 150
  Probabilidad que saliera 5 = 0. 15 * 1000 = 150
  Probabilidad que saliera 6 = 0.05 * 1000 = 50

Entonces la probabilidad de q salga  1 es 50 veces , 2 es 200 veces, 3 es 400 veces , 4 es 150 veces,
5 es 150 veces y 6 es 50 veces.

si todo esta bien la suma de las veces tienen que darnos 1000

50+200+400+150+150+50 = 1000 ---> Correcto

Ejemplo de Probabilidad

1. Al tirar un dado consideramos los sucesos
    a =  par,    b = Mayor que 3,    c =  impar
    De los tres pares de sucesos posibles ab, ac y bc indican cuales son compatibles e incompatibles.

    Solución

• ab es compatible cuando salga el numero 4 y el 6 en el dado, porque se esta cumpliendo el suceso que dice la pregunta que si a es par b tiene que ser mayor que 3.
  y son incompatibles cuando se lanza y cae el numero 2 ya que Si yo saco el numero 2 estoy negando la afirmacion del suceso, por que 2 no es mayor que 3 con esto diríamos que no es compatible.
• ac  es incompatible la razón es si yo lanzo el dado y sale par entonces no puede ser impar y si hacemos lo contrario y sale impar no puede ser par
• bc es compatible cuando salga el valor numero 5 porque se cumple el suceso de ser impar y mayor que 3 y seria incompatible si cae en el 1 ya q no seria mayor que tres pero seria impar y si cae en 3 cumpliria ser impar pero no seria mayor que tres

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Se llama ecuación lineal a una ecuación que solo tiene una única solución su soluciones son pares ordenados de números tiene infinita soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.

Ejemplo 1 Problema explicación ecuación lineal

Un estante Contiene 3/5 de la cantidad total de libros que están en el estante vecino, si pasamos 10 libros del primero al segundo estante este tendrá el doble de libros que el primero. Cuantos libros había en cada librero?

x= Cantidad de libros

2(3/5x -10) ---> Primera ecuación
x+10 --->Segunda ecuación

x+10=2(3/5x-10)
x+10=6/5x-20
x=6/5-20-10
x-6/5x=-30
x-6/5X = -30
5-6/5 x = -30
-1/5x = -30
x= 150

Reemplazamos x que es igual a 150

3/5x150= 90

Rta// En el primer estante hay 90 libros y en el segundo150 libros

Ejemplo 2 Problema explicación ecuación lineal

1. x+3y-z=4
2. -2x+y+3z=9
3. 4x+2y+z=11

-2x+y+3z=9 -->Esta ecuación la multiplicaremos por 2 para hacer la reducción con la ecuación 3
4x+2y+z=11
----------------
-4x+2y+6z=18   --->Se cancelan las variables x
4x+2y+z=11
----------------
   4y+7z=29   --->ecuación 3

Ahora haremos la reducción de la ecuación 2

 x+3y-z=4  ----->Esta ecuación la multiplicaremos por 2 para hacer la reducción de la ecuación 2

-2x+y+3z=9
--------------
2x+6y-2z=8  ---->Se cancelan las variables x
-2x+y+3z=9
---------------
   7y+z=17   ----> Ecuación 2

Ahora multiplicaremos la ecuación 2 por -4/7 y la sumamos a la ecuación 3 para eliminar la variable y de la ecuación 3.

-4/7(7y+z=17) = -4y-4/7z=-4/7*17 y a esto le sumamos la caución 3

-4/7(7y+z=17) = -4y-4/7z=-4/7*17
   4y+7z=29

45/7z-135/7
45/7z = 135/7 ---> como es una igualdad los 7 se cancelan
45z=135
z=135/45
z=3

7y+z=17 ---> reemplazamos z que es igual a 3

7y+3=17
7y=14
y=14/7
y=2  

4x+2y+z=11 ---> ya podemos hallar x

4x+2*2+3=11
4x+4+3=11
4x+7=11

4x=4
x=1

Rta//  x=1, y=2, z=3

Bueno espero les halla gustado y nos leemos en una próxima oportunidad

Daniel Barragan

Fuente Definición : Notas de clase Álgebra lineal Facultad Ingenierías