Sistemas de Ecuaciones Lineales

Bienvenidos Solucion de Ejercicios por Varios Metodos.

www.resolviendo.co

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Metodos de Solucion

1. Metodo Grafico
2. Metodo de Sustitucion
3. Metodo de Igualacion
4. Metodo de Reduccion


Aplicamos el (1) Metodo Grafico para resolver los siguiente ejercicios
y se realiza tabla de valores para graficar la ecuacion que son rectas

Ejercicio 1

-2x-3y = -65
3x +2y = 60

Solucion

Despejamos la Variable Y

-3y = -65 + 2x Multiplicamos por (-1)

3y = 65-2x  (1)
y = 65-2x/3

2y = 60-3x
y = 60-3x/2

Ejercicio 2

2w - 5y = 4
-3w + 2y = -1

Solucion

Despejamos la Variables Y

5y = 2w -4
y = 2w-4 /5

2y = -1 + 3w
y = -1+3w/2

Ejercicio 3

-6x +8k = -6
3x - 4k = 3

Despejamos la Variable K

8k = -6 + 6x
k = 6x - 6 / 8

4k = 3x -3
k = 3x - 3 / 4

Hay resta que se asigne valores y se haga la Grafica.

2. Metodo de Sustitucion
Despejamos una Variable y la Reemplazamos en la Otra

Ejercicio 1

-2x - 3y = - 65 
y = 65-2x/3

3x +2(65-2x/3) = 60
3x + 130 - 4x /3 = 60
9x +130 -4x /3 = 60
9x +130 -4x = 60(3)
9x +130 -4x = 180
5x +130 = 180
5x = 180-130
5x = 50
x = 50/5
x= 10

Reemplazamos el Valor de x en cualquiera de la ecuaciones y hallamos y

y = 65 -2(10) / 3
y = 45 / 3
y = 15
Solucion de este ejercicio es (10 , 15 )

Ejercicio 2

2w - 5y = 4  (1)
-3w + 2y = -1   (2)

5y = 2w -4
y= 2w-4/5

Reemplazamos en 2

-3w + 2(2w-4/5) = -1
-3w +4w-8 /5 = -1
-15w + 4w -8 / 5 = -1
-11w -8 = -5
-11w = -5 +8
-11w = 3
w = -3/11

y = 2(-3/11) -4/5
y = -6/11 - 4/5
y = -74/55
Solucion de este ejercicio es (-3/11 , -74/55)

Ejercicio 3

-6x +8k = -6 (1)
3x - 4k = 3    (2)

8k = -6 +6x
k = -6 + 6x /8

Reemplazamos en 2

3x -4(-6+6x /8) = 3
3x +24 -24x / 8 = 3
24x + 24 - 24x / 8 = 3
24 = 24

3) Metodo de Igualacion

Ejercicio 1

-2x-3y = -65
3x +2y = 60

Despejamos

3y = 65-2x  (1)
y = 65-2x/3

2y = 60-3x (2)
y = 60-3x/2

65-2x /3 = 60-3x/2
2(65-2x) = 3(60-3x)
130 -4x = 180 -9x
9x-4x = 180 -130
5x = 50
x = 50/5
x = 10

y = 60 -3(10) / 2
y = 60 -30 / 2
y = 30/2
y = 15
Solucion es (10 , 15)

Ejercicio 2

2w - 5y = 4
-3w + 2y = -1

5y = 2w -4
y = 2w-4 /5

2y = -1 + 3w
y = -1+3w/2

2w - 4 / 5 = -1 + 3w / 2
2(2w -4) = 5(-1 + 3w)
4w - 8 = -5 + 15 w
-15 w + 4w = -5 + 8
-11 w = 3
w = -3/ 11

y = 2(-3/11) - 4/5
y = -6/11 - 4/5
y = -74/55

Solucion ( -3/11 , -74/55)

Ejercicio 3

-6x +8k = -6 (1)
3x - 4k = 3    (2)

Despejamos la Variable K

8k = -6 + 6x
k = 6x - 6 / 8

3x - 4(6x -6)/8 = 3
3x -24x + 24/8 = 3
24x -24x + 24 / 8 = 3
24 = 24

4. Metodo Reduccion

Ejercicio 1

-2x-3y = -65 (1)
3x +2y = 60  (2)

Multiplicamos Ecuacion 1 por (3) y Ecuacion 2 por (2)

-6x -9y = -195
6x +4y = 120

Sumamos y nos Queda
-5y = -75
y = 15

3x +2(15) = 60
3x +30 = 60
3x = 60 - 30
3x = 30
x = 10

Ejercicio 2

2w - 5y = 4 (1)
-3w + 2y = -1  (2)

Multiplicamos Ecuacion 1 por (3) y Ecuacion 2 por (2)

6w - 15y = 12
-6w + 4y = -2
-11y = 11
y = -1

2w -5(-1) = 4
2w +5 = 4
2w = 4-5
2w =-1
w = -1/2


Ejercicio 3

-6x +8k = -6 (1)
3x - 4k = 3 (2)

Multiplicamos la Ecuacion 2 por (3)

-6x +8k = -6
6x -12k = 9

-4k = 3
k = -3/4

-6x + 8(-3/4) = -6
-6x -6 = -6
-6x = -6 + 6
x= 0

Saludos

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Se llama ecuación lineal a una ecuación que solo tiene una única solución su soluciones son pares ordenados de números tiene infinita soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.

Ejemplo 1 Problema explicación ecuación lineal

Un estante Contiene 3/5 de la cantidad total de libros que están en el estante vecino, si pasamos 10 libros del primero al segundo estante este tendrá el doble de libros que el primero. Cuantos libros había en cada librero?

x= Cantidad de libros

2(3/5x -10) ---> Primera ecuación
x+10 --->Segunda ecuación

x+10=2(3/5x-10)
x+10=6/5x-20
x=6/5-20-10
x-6/5x=-30
x-6/5X = -30
5-6/5 x = -30
-1/5x = -30
x= 150

Reemplazamos x que es igual a 150

3/5x150= 90

Rta// En el primer estante hay 90 libros y en el segundo150 libros

Ejemplo 2 Problema explicación ecuación lineal

1. x+3y-z=4
2. -2x+y+3z=9
3. 4x+2y+z=11

-2x+y+3z=9 -->Esta ecuación la multiplicaremos por 2 para hacer la reducción con la ecuación 3
4x+2y+z=11
----------------
-4x+2y+6z=18   --->Se cancelan las variables x
4x+2y+z=11
----------------
   4y+7z=29   --->ecuación 3

Ahora haremos la reducción de la ecuación 2

 x+3y-z=4  ----->Esta ecuación la multiplicaremos por 2 para hacer la reducción de la ecuación 2

-2x+y+3z=9
--------------
2x+6y-2z=8  ---->Se cancelan las variables x
-2x+y+3z=9
---------------
   7y+z=17   ----> Ecuación 2

Ahora multiplicaremos la ecuación 2 por -4/7 y la sumamos a la ecuación 3 para eliminar la variable y de la ecuación 3.

-4/7(7y+z=17) = -4y-4/7z=-4/7*17 y a esto le sumamos la caución 3

-4/7(7y+z=17) = -4y-4/7z=-4/7*17
   4y+7z=29

45/7z-135/7
45/7z = 135/7 ---> como es una igualdad los 7 se cancelan
45z=135
z=135/45
z=3

7y+z=17 ---> reemplazamos z que es igual a 3

7y+3=17
7y=14
y=14/7
y=2  

4x+2y+z=11 ---> ya podemos hallar x

4x+2*2+3=11
4x+4+3=11
4x+7=11

4x=4
x=1

Rta//  x=1, y=2, z=3

Bueno espero les halla gustado y nos leemos en una próxima oportunidad

Daniel Barragan

Fuente Definición : Notas de clase Álgebra lineal Facultad Ingenierías