Sistemas de Ecuaciones Lineales

Se llama ecuación lineal a una ecuación que solo tiene una única solución su soluciones son pares ordenados de números tiene infinita soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.

Ejemplo 1 Problema explicación ecuación lineal

Un estante Contiene 3/5 de la cantidad total de libros que están en el estante vecino, si pasamos 10 libros del primero al segundo estante este tendrá el doble de libros que el primero. Cuantos libros había en cada librero?

x= Cantidad de libros

2(3/5x -10) ---> Primera ecuación
x+10 --->Segunda ecuación

x+10=2(3/5x-10)
x+10=6/5x-20
x=6/5-20-10
x-6/5x=-30
x-6/5X = -30
5-6/5 x = -30
-1/5x = -30
x= 150

Reemplazamos x que es igual a 150

3/5x150= 90

Rta// En el primer estante hay 90 libros y en el segundo150 libros

Ejemplo 2 Problema explicación ecuación lineal

1. x+3y-z=4
2. -2x+y+3z=9
3. 4x+2y+z=11

-2x+y+3z=9 -->Esta ecuación la multiplicaremos por 2 para hacer la reducción con la ecuación 3
4x+2y+z=11
----------------
-4x+2y+6z=18   --->Se cancelan las variables x
4x+2y+z=11
----------------
   4y+7z=29   --->ecuación 3

Ahora haremos la reducción de la ecuación 2

 x+3y-z=4  ----->Esta ecuación la multiplicaremos por 2 para hacer la reducción de la ecuación 2

-2x+y+3z=9
--------------
2x+6y-2z=8  ---->Se cancelan las variables x
-2x+y+3z=9
---------------
   7y+z=17   ----> Ecuación 2

Ahora multiplicaremos la ecuación 2 por -4/7 y la sumamos a la ecuación 3 para eliminar la variable y de la ecuación 3.

-4/7(7y+z=17) = -4y-4/7z=-4/7*17 y a esto le sumamos la caución 3

-4/7(7y+z=17) = -4y-4/7z=-4/7*17
   4y+7z=29

45/7z-135/7
45/7z = 135/7 ---> como es una igualdad los 7 se cancelan
45z=135
z=135/45
z=3

7y+z=17 ---> reemplazamos z que es igual a 3

7y+3=17
7y=14
y=14/7
y=2  

4x+2y+z=11 ---> ya podemos hallar x

4x+2*2+3=11
4x+4+3=11
4x+7=11

4x=4
x=1

Rta//  x=1, y=2, z=3

Bueno espero les halla gustado y nos leemos en una próxima oportunidad

Daniel Barragan

Fuente Definición : Notas de clase Álgebra lineal Facultad Ingenierías

Cantidades Positivas y Negativas

Cuando se estudian las cantidades pueden tomarse dos sentidos opuestos o que tienen condición de ser opuestos, se expresa el sentido de la cantidad mediante los signos + y -, anteponiendo el primero a las cantidades positivas, y el segundo a las negativas.

Generalmente, se designa al haber como cantidad positiva y a las deudas como negativa; a los grados sobre cero como positiva y a los grados bajo cero como negativa; el camino recorrido hacia la derecha o hacia arriba como positiva, mientras que hacia abajo o la izquierda es negativo; la latitud norte y la longitud este son positivas en tanto que la latitud sur y la longitud oeste son negativas; etc.

La fijación del sentido positivo en cantidades que puede tomarse en dos sentidos opuestos es arbitraria, es decir, puede tomarse a cualquiera de los dos sentidos como positivo; pero, una vez elegido, el negativo será el opuesto. Así, si en el segmento AB tomamos como sentido positivo de A hacia B, el sentido negativo será de B hacia A, y viceversa.

   El cero es la ausencia de cantidad. Es utilizado para expresar que una cantidad no es ni positiva ni negativa, pues el 0 es mayor que todas las cantidades negativas, pero menor que todas las cantidades positivas.

El valor absoluto de una cantidad es el número que representa la cantidad prescindiendo del signo o sentido de ésta y el valor relativo es el sentido de la cantidad. Puede considerarse al valor absoluto como al distancia de una cantidad al 0 en la recta numérica, por lo tanto, las cantidades positivas se hacen mayores a medida que su valor absoluto aumenta. En cambio, las cantidades negativas se hacen cada vez mayores a medida que su valor absoluto decrece.

Así, se diferencian dos tipos de cantidades: 

Cantidades aritméticas: son las que expresan solamente el valor absoluto de las cantidades representado por los números, pero no nos dice su sentido o valor relativo de las cantidades. 

 

Cantidades algebraicas: son las que expresan el valor absoluto de las cantidades así como su valor relativo o sentido por medio del signo.  

 

Una vez explicada la teoría podemos pasar a solucionar Ejercicios de practica a les dejare una imagen de una recta numérica que les sera muy útil en la solución de los ejercicios.