Movimiento Rectilineo Parte 5

Integral definida

 

Dada la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀ y t.  En los casos en los que la velocidad es constante o varía linealmente con el tiempo, el desplazamiento se calcula fácilmente

Si v=35 m/s, el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀=0 y t=10 s es Δx=35·10=350 m



Si v=6·t, el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀=0 y t=10 s es el área del triángulo de color azul claro Δx=(60·10)/2=300 m




Si v=-8·t+60. el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀=0 y t=10 s es la suma de las áreas de dos triángulos:

el de la izquierda tiene un área de (7.5·60)/2=225 

el de la derecha tiene un área de (-20·2.5)/2=-25

El desplazamiento es el área total Δx=225+(-25)=200 m

En otros casos, podemos calcular el desplazamiento aproximado, siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura

En el instante t_i-1 la velocidad del móvil es v_i-1, en el instante t_i la velocidad del móvil es v_i. La velocidad media <v_i> en el intervalo de tiempo Δt_i=t_i-t_i-1 comprendido entre t_i-1 y t_i es
<vi>=v(ti)+v(ti−1)2
El desplazamiento del móvil durante el intervalo de tiempo Δt_i=t_i-t_i-1 comprendido entre t_i-1 y t_i es aproximadamente el área del rectángulo <v_i>·Δt_i. El desplazamiento total x-x₀ entre el instante inicial t₀, y el instante final t=t_n es, aproximadamente
x−x0≈∑i=1n<vi>Δti
donde n es el número de intervalos
Si v=-t²+14t+21 (m/s) y tomamos n=10 intervalos iguales, entre el instante t₀=0 y t=10 s el desplazamiento aproximado vale
x-x₀≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m
Cuando el número de intervalos en los que se ha dividido un intervalo dado (t₀, t) es muy grande Δt_i→0. En el límite, el desplazamiento se expresa como
x−x0=∫t0tv⋅dt
Si v=-t²+14t+21 (m/s), el desplazamiento entre el instante t₀=0 y t=10 s vale
x−x0=∫010(−t2+14t+21)⋅dt=−t33+7t2+21t∣∣∣100=17303 m